Question

8．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位年人，结果如下：

性别 是否需要志愿者	男	女
需要	40	30
不需要	160	270

（Ⅰ）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（Ⅱ）能否有99%的把握认为该区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
（Ⅲ）在需要提供服务的老年人中按分层抽样抽取7人组成特别护理组，现从特别护理组中抽取2人参加某机构组织的健康讲座，求抽取的两人恰是一男一女的概率．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题目中的数表求出需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计值；
（Ⅱ）根据列联表计算观测值，对照临界值表即可得出结论；
（Ⅲ）按分层抽样求出抽取的男性、女性人数，利用列举法求出基本事件数，再计算对应的概率值．

解答 解：（Ⅰ）根据题目中的数表得，
调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，
因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值为
$\frac{70}{500}=14$%；
（Ⅱ）根据列联表，计算观测值$K_{\;}^2=\frac{{500×（40×270-30×160）_{\;}^2}}{200×300×70×430}≈9.967＞6.635$，
对照临界值表知，有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关；
（Ⅲ）按分层抽样抽取7人，男性有4人，可记为A、B、C、D，女性3人，可记为e、f、g，
现从7人中抽取2人，基本事件是AB、AC、AD、Ae、Af、Ag、BC、BD、Be、Bf、Bg、
CD、Ce、Cf、Cg、De、Df、Dg、ef、eg、fg共21种不同的方法，
恰是一男一女的有Ae、Af、Ag、Be、Bf、Bg、Ce、Cf、Cg、De、Df、Dg共12种不同的方法，
故所求的概率为P=$\frac{12}{21}$=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了利用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．