Question

11．在直角坐标系xOy中，曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα+1\\ y=\sqrt{2}sinα+1\end{array}\right.$（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m
（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；
（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出曲线C的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与半径比较，即可得到结果．
（2）利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果．

解答 解：（1）曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}cosα+1\\ y=\sqrt{2}sinα+1\end{array}\right.$（α为参数），
曲线C的直角坐标方程为：（x-1）²+（y-1）²=2，是一个圆；圆心（1，1），半径为：$\sqrt{2}$．
直线l：ρsinθ+ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程为：x+y=0
圆心C到直线l的距离$d=\frac{{|{1+1}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=\sqrt{2}=r$，所以直线l与圆C相切        …（5分）
（2）由已知可得：圆心C到直线lx+y=m的距离$d=\frac{{|{1+1-m}|}}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}≤\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
解得-1≤m≤5…（10分）

点评 本题考查直线的参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．