Question

6．如图，D是△ABC中边BC上一点，AD=AB，记∠CAD=α，∠ABC=β，sinα+cos2β=0，若AC=$\sqrt{3}$DC，求β的值．

Answer 1

分析 利用正弦定理，结合二倍角公式列出方程，即可求出β的值．

解答 解：△ABC中，由正弦定理得，
AC：DC=sin（180°-β）：sinα，
又因为AC=$\sqrt{3}$DC，
所以sinβ=$\sqrt{3}$sinα，
所以sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinβ；
又sinα+cos2β=0，
所以$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinβ+1-2sin²β=0，
解得sinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜β＜$\frac{π}{2}$，
所以β=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理与二倍角公式的应用问题，是基础题目．