Question

5．已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）对一切的x∈（0，+∞）时，2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（Ⅱ）3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立将a分离可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，设h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，利用导数研究h（x）的最大值，可求出a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=xlnx，x＞0，
f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
∴f（x）的极小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$；
（Ⅱ）∵g′（x）=3x²+2ax-1，
由题意：3x²+2ax-1+2≥2xlnx在x∈（0，+∞）上恒成立，
即3x²+2ax+1≥2xlnx，可得a≥lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，
设h（x）=lnx-$\frac{3}{2}$x-$\frac{1}{2x}$，则h′（x）=-$\frac{（x-1）（3x+1）}{{2x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得x=1，x=-$\frac{1}{3}$（舍），
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）_max=-2，
∴a≥-2，即a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值问题，考查函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和计算能力．