Question

2．设数列{a_n}，a₂=$\frac{a}{3}$（a为非零常数），a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3}$+$\frac{a}{{3}^{n}}$，数列{b_n}，b_n=3^n-1a_n，S_n是数列{b_n}的前n项的和．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）是否存在实数a、b，使得对任意正整数t，数列{b_n}中满足b_n+b≤t的最大项恰是第3t-2项？若存在，分别求出a与b的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用数列递推公式得到{3ⁿa_n}是以0为首项，以3a为公差的等差数列，求出其通项公式，再求出数列{b_n}的通项公式，根据定义证明即可；
（2）根据条件b_n+b≤t求出n满足的条件，再根据满足b_n+b≤t的最大项恰是为3t-2，转化为不等式的恒成立问题，分析求解即可．

解答 解：（1）证明：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3}$+$\frac{a}{{3}^{n}}$，
∴3ⁿ⁺¹a_n+1-3ⁿa_n=3a，
当n=2时，a₁=0，
∴3ⁿa_n=0，
∴{3ⁿa_n}是以0为首项，以3a为公差的等差数列，
∴3ⁿa_n=0+3a（n-1）=3a（n-1）
∴a_n=$\frac{（n-1）a}{{3}^{n-1}}$，
∴b_n=3^n-1a_n=（n-1）a，
∴b_n-b_n-1=（n-1）a-（n-2）a=a，
∴数列{b_n}为等差数列；
（2）由b_n+b≤t，得a（n-1）+b≤t．
若a＜0，则n≥$\frac{t-b}{a}$+1，不合题意，舍去；     
若a＞0，则n≤$\frac{t-b}{a}$+1．
∵不等式b_n+b≤t成立的最大正整数解为3t-2，
∴3t-2≤$\frac{t-b}{a}$+1＜3t-1，
即2a-b＜（3a-1）t≤3a-b，对任意正整数t都成立．
∴3a-1=0，解得a=$\frac{1}{3}$，
此时，$\frac{2}{3}$-b＜0≤1-b，解得$\frac{2}{3}$＜b≤1．
故存在实数a、b满足条件，a与b的取值范围是a=$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$＜b≤1．

点评 本题考查了等差数列的通项公式，数列的项与前n项和之间的关系及数列的综合问题．