Question

7．在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π-B）
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若b=$\sqrt{13}$，且S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求a+c．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理得：sinBcosC=（2sinA+sinC）•（-cosB），再由正弦加法定理、诱导公式推导出cosB=-$\frac{1}{2}$，由此能求出B．
（Ⅱ）由三角形面积公式得到ac=3，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，由此能求出a+c．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，
且满足等式bcosC=（2a+c）cos（π-B），
∴由正弦定理得：sinBcosC=（2sinA+sinC）•（-cosB），
∴sinBcosC+cosBsinC=-2sinAcosB，
∴sin（B+C）=-2sinAcosB，
∴sinA=-2sinAcosB，
∵sinA≠0，∴cosB=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵B=$\frac{2π}{3}$，b=$\sqrt{13}$，且S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，解得ac=3，
由余弦定理得：
b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴13=（a+c）²-6-6×（-$\frac{1}{2}$），
解得a+c=4．

点评 本题考查角的大小、两边和的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、诱导公式、正弦加法定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．