Question

16．已知函数f（x）=ax²-1-lnx，其中a∈R
（1）探讨f（x）的单调性
（2）若f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，讨论当a≤0时，当a＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由题意可得ax²≥1+x+lnx，当x＞1时，a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出导数，判断单调性，可得g（x）的最大值，可得a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=ax²-1-lnx的导数为f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$=$\frac{2a{x}^{2}-1}{x}$，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）为减函数；
当a＞0时，f′（x）=0可得x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
当0＜x＜$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，f′（x）＜0；当x＞$\sqrt{\frac{1}{2a}}$时，f′（x）＞0．
可得f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）为减函数，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）为增函数，
综上可得，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）为减函数；
当a＞0时，f（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）为减函数，在（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，+∞）为增函数；
（2）f（x）≥x对x∈（1，+∞）成立，
可得ax²≥1+x+lnx，
当x＞1时，a≥$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$=$\frac{-1-x-2lnx}{{x}^{3}}$，
当x≥1时，-1-x-2lnx＜0，即g′（x）＜0，
g（x）在[1，+∞）递减，
可得a≥g（1）=2，
则a的取值范围是[2，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和构造函数法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．