Question

两个人射击，甲射击一次中靶概率是p₁，乙射击一次中靶概率是p₂，已知，p₁，p₂是方程 3x²-x=0的根，若两人各射击5次，甲的方差是

5

4

．
（Ⅰ）求 p₁，p₂的值；
（Ⅱ）两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的概率是多少？
（Ⅲ）甲、乙两人轮流射击，各射击3次，中靶一次就终止射击，求终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意可知 ξ_甲～B（5，p₁），由此能求出p₁，p₂的值．
（Ⅱ）共击中3次概率C₂²（

1

2

）²（1-

1

2

）⁰×C₂¹（

1

3

）¹（

2

3

）¹+C₂¹（

1

2

）¹（

1

2

）¹×C₂²（

1

3

）²（

1

3

）⁰=

1

6

；共击中4次概率C₂²（

1

2

）²（

1

2

）⁰×C₂²（

1

3

）²（

2

3

）⁰=

1

36

． 由此能求出完成目的概率．
（Ⅲ） 由已恬ξ=1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出终止射击时两人射击的次数之和ξ的期望．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可知 ξ_甲～B（5，p₁），
∴Dξ_甲=5p₁ （1-p₁）=

5

4

，p₁²-p₁+

1

4

=0，解得p₁=

1

2

；
又

1

p1

，

1

p2

是方程 x²-5x+6=0的根，
∴

1

p1

•

1

p2

=6，∴p₂=

1

3

．   
（Ⅱ）两类情况：
∴共击中3次概率C₂²（

1

2

）²（1-

1

2

）⁰×C₂¹（

1

3

）¹（

2

3

）¹+C₂¹（

1

2

）¹（

1

2

）¹×C₂²（

1

3

）²（

1

3

）⁰=

1

6

；
共击中4次概率C₂²（

1

2

）²（

1

2

）⁰×C₂²（

1

3

）²（

2

3

）⁰=

1

36

． 
∴所求概率为

1

6

+

1

36

=

7

36

．  
（Ⅲ） P（ξ=1）=

1

2

，P（ξ=2）=（1-

1

2

）×

1

3

=

1

6

，
P（ξ=3）=（1-

1

2

）×

2

3

×

1

2

=

1

6

，
P（ξ=4）=（1-

1

2

）²×

2

3

×

1

3

=

1

18

，
P（ξ=5）=（1-

1

2

）²×（

2

3

）²×

1

2

=

1

18

，
P（ξ=6）=(1-

1

2

)3×(

2

3

)2×1=

1

18

，
ξ的分布列为：

P	1	2	3	4	5	6
ξ	1 2	1 6	1 6	1 18	1 18	1 18

Eξ=1×

1

2

+(2+3)×

1

6

+（4+5+6）×

1

18

=

13

6

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．