Question

已知函数f（x）=x²+alnx．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导数，得出f′（x）=2x+

1

x

＞0，从而判断函数的单调性和极值，（2）由f′（x）=2x+

a

x

，且f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，解不等式从而求出a的范围．

解答： 解：（1）a=1时：f（x）=x²+lnx，（x＞0），
∴f′（x）=2x+

1

x

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）无极值；
（2）∵f′（x）=2x+

a

x

，
若f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
则：f′（1）=2+a≥0，
∴a≥-2．

点评：本题考察了函数的单调性，极值问题，导数的应用问题，是一道基础题．