Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+

asinC

3

-b=0．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

3

，求bsinB+csinC的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中的边转化成角的正弦，利用两角和公式整理可求得tanA的值，进而求得A．
（Ⅱ）根据三角形面积求得bc的值，利用正弦定理表示出sinB和sinC，整理后根据基本不等式求得其最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵acosC+

asinC

3

-b=0．
∴sinAcosC+

sinAsinC

3

=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
求得tanA=

3

，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）S=

1

2

bcsinA=

3

，
∴bc=4，
∴bsinB+csinC=

3

2

•

b2+c2

a

=

3

2

•

a2+4

a

≥2

3

，当却仅当a=b=c=2取最小值．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理对边和角的问题进行转换．