Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求证：MN⊥CD．
（3）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥平面PAD；（2）欲证AB⊥CD，先证线面垂直即可得到AB⊥CD；（3）欲证MN⊥平面PCD，先证AE⊥平面PCD．

解答： （1）证明：取PD的中点E，连接AE、NE，N为PCD的中点，∴NE∥CD，NE=

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CD，∵M是AB的中点．底面ABCD是矩形，∴AM∥CD，AM=

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CD，∴NE∥AM，NE=AM，AMNE为平行四边形，∴MN∥AE，AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD．
（2）证明：PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA，∴底面ABCD是矩形，CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE?平面PAD，∴CD⊥AE，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥CD．
（3）证明：PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即PD与平面ABCD所成的角，即∠PDA=45°，PA⊥AD，∴PA=AD，∴△PAD为等腰直角三角形，E为PD 中点，∴AE⊥PD，又由（2）知，AE⊥CD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．

点评：本题考查线面、线线的平行与垂直的位置关系，线面、线线的平行与垂直判定定理及其性质的灵活应用是关键．