Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+

1

2

a₂+…+

1

n-1

a_n-1（n＞1），则数列{a_n}的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据递推数列构造新数列，利用作差法即可得到数列{a_n}的通项公式a_n．

解答： 解：∵a_n=a₁+

1

2

a₂+…+

1

n-1

a_n-1（n＞1），
∴a_n+1=a₁+

1

2

a₂+…+

1

n-1

a_n-1+

1

n

an，
两式相减得a_n+1-a_n=

1

n

an，
即an+1=

n+1

n

an，
即

a3

a2

=

3

2

，

a4

a3

=

4

3

，…，

an

an-1

=

n

n-1

，
等式两边同时相乘得

an

a2

=

n

2

，
即a_n=

n

2

a2，（n≥2），
当n=1时，a₁=1，
当n=2时，a₂=a₁=1，
∴a_n=

n

2

a2=

n

2

，（n≥2），
即a_n=

1，n=1 n 2 ，n≥2

．
故答案为：a_n=

1，n=1 n 2 ，n≥2

．

点评：本题主要考查数列{a_n}的通项公式的求解，利用递推公式构造新的方程是解决本题的关键，考查学生的计算能力．