Question

已知f（x）=ke^x-ex²（x∈R，）其中无理数e是自然对数的底数．
（1）若k=1，求f（x）的图象在x=1处的切线l的方程；
（2）若f（x）有两个不同的极值点x₁，x₁′，求实数k的取值范围；
（3）若k依序取值1，

4

3

，…，

2n

n+1

（n∈N^*）时，分别得到f（x）的极值点对（x₁，x₁′），（x₂，x₂′），…（x_n，x_n′），其中x_i＜x_i′（i=1，2，…，n），求证：对任意正整数n≥2，有（2-x₁）（2-x₂）…（2-x_n）＜

1

x1x2…xn

=

n+1

e(x1+x2…xn-n)

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，f（x）有两个不同的极值点x₁，x₁′，则f′（x）=0有两个不相等的实根．即有k=

2ex

ex

有两解，令g（x）=

2ex

ex

，求出g（x）的导数，求出极值、最值，即可得到k的范围；
（3）运用零点存在定理，得到x_i∈（0，1），再由基本不等式证得0＜x_i（2-x_i）＜（

xi+2-xi

2

）²=1，再由累乘法即可证得原不等式成立．

解答： （1）解：k=1时，f（x）=e^x-ex²，导数为f′（x）=e^x-2ex，
则f（x）在x=1处的切线斜率为e-2e=-e，切点为（1，0），
则切线方程为：y=-e（x-1）即为ex+y-1=0；
（2）解：f（x）=ke^x-ex²（x∈R）的导数为f′（x）=ke^x-2ex，
由于f（x）有两个不同的极值点x₁，x₁′，则f′（x）=0有两个不相等的实根．
即有k=

2ex

ex

有两解，
令g（x）=

2ex

ex

，g′（x）=

2e(1-x)

ex

，
当x＞1时，g′（x）＜0，当x＜1时，g′（x）＞0，
则有g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值，即为2．
且x→+∞，g（x）→0，
则有0＜k＜2；
（3）证明：由f′（x）=ke^x-2ex=0，
可得，ke^x=2ex，k=

2n

n+1

，
由于f′（0）=k＞0，f′（1）=ke-2e＜0，
则极值点x_i∈（0，1）．
由于0＜x_i（2-x_i）＜（

xi+2-xi

2

）²=1，
则有x₁（2-x₁）•x₂（2-x₂）•…•x_n（2-x_n）＜1，
即有（2-x₁）（2-x₂）…（2-x_n）＜

1

x1x2…xn

，
又1•ex1=2ex₁，

4

3

ex2=2ex₂，

6

4

ex3=2ex₃，…，

2n

n+1

exn=2ex_n，
相乘，可得，

1

n+1

ex1+x2+…+xn=eⁿ•x₁x₂…x_n，
则有

1

x1x2…xn

=

n+1

e(x1+x2…xn-n)

．
则原不等式成立．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和求极值，考查基本不等式的运用，累乘法的运用，考查运算能力，属于中档题．