Question

PA⊥面ABCD，底面是矩形ABCD，且PA=BC=1，AB=2
（1）求点A到面PBD距离；
（2）求直线PA与面PBD所成角的正弦值；
（3）求二面角P-DC-A的平面角；
（4）求二面角P-BD-A的平面角；
（5）求二面角P-AD-C的平面角．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点A到面PBD距离．
（2）利用向量法能求出直线PA与面PBD所成角的正弦值．
（3）求出平面PDC的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角P-DC-A的平面角．
（4）求出平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角P-BD-A的平面角．
（5）推导出平面PAD⊥平面ADC，从而得到二面角P-AD-C的平面角为90°．

解答： 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得P（0，0，1），B（2，0，0），
D（0，1，0），A（0，0，0），C（2，1，0），

PB

=（2，0，-1），

PD

=（0，1，-1），

AP

=（0，0，1），
设平面PBD的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • PB =2x-z=0 n • PD =y-z=0

，
取x=1，得

n

=（1，2，2），
∴点A到面PBD距离d=

| n • AP |

| n |

=

|2|

3

=

2

3

．
（2）设直线PA与面PBD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

AP

，

n

＞|=|

2

3

|=

2

3

．
∴直线PA与面PBD所成角的正弦值为

2

3

．
（3）

PC

=（2，1，-1），
设平面PDC的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • PC =2a+b-c=0 m • PD =b-c=0

，
取b=1，得

m

=（0，1，1），
又平面ACD的法向量

p

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

p

＞=

1

2

=

2

2

，
∴二面角P-DC-A的平面角为45°．
（4）∵平面ABD的法向量

p

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

p

＞=

2

3

，
∴＜

n

，

p

＞=arccos

2

3

，
∴二面角P-BD-A的平面角为arccos

2

3

．
（5）∵PA⊥面ABCD，底面是矩形ABCD，
∴PA⊥CD，CD⊥AD，
又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，
又CD?平面ADC，∴平面PAD⊥平面ADC，
∴二面角P-AD-C的平面角为90°．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，考查空间角的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．