Question

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C₁：2x²-y²=1．
（1）过C₁的左顶点引C₁的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C₁于P、Q两点．若l与圆x²+y²=1相切，求证：OP⊥OQ．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,直线与圆的位置关系,双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）双曲线C₁：

x2

1 2

-y2=1，左顶点A（-

2

2

，0），过点A与渐近线y=

2

x平行的直线方程为y=

2

x+1，由此能求出该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．
（2）设直线PQ的方程是y=x+b，直线PQ与已知圆相切，得b²=2，由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明OP⊥OQ．

解答： （1）解：双曲线C₁：

x2

1 2

-y2=1，左顶点A（-

2

2

，0），
渐近线方程y=±

2

x，
过点A与渐近线y=

2

x平行的直线方程为y=

2

（x+

2

2

），
即y=

2

x+1，
解方程组

y=- 2 x y= 2 x+1

，得x=-

2

4

，y=

1

2

，
∴该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积：
S=

1

2

|OA|•|y|=

1

2

×

2

2

×

1

2

=

2

8

．
（2）证明：设直线PQ的方程是y=x+b，
∵直线PQ与已知圆相切，∴

|b|

2

=1，解得b²=2，
由

y=x+b 2x2-y2=1

，得x²-2bx-b²-1=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=2b，x1x2=-1-b2，
又y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b），
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=2（-1-b²）+2b²+b²
=b²-2=0，
∴OP⊥OQ．

点评：本题考查三角形面积的求法，考查两线段垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．