Question

已知函数f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

（Ⅰ）求函数g（x）=

lnx

x

的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在区间（0，+∞）内恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（1-

1

n

）（n≥2，n∈N^*）．（e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得g′(x)=

1 x x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，由此能求出函数g（x）=

lnx

x

的单调递增区间．
（Ⅱ）由已知k≥

lnx

x2

对（0，+∞）恒成立，构造函数h（x）=

lnx

x2

，x＞0，利用导数性质能求出实数k的取值范围．（Ⅲ）由

lnx

x2

≤

1

2e

，得

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，由此利用放缩法和裂项求和法能证明

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（1-

1

n

）（n≥2，n∈N^*）．

解答： （Ⅰ）解：g′(x)=

1 x x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，
由g′（x）＞0，得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，
∴函数g（x）=

lnx

x

的单调递增区间为（0，e）．
（Ⅱ）解：f（x）≥g（x）即kx≥

lnx

x

对（0，+∞）内恒成立，
∴k≥

lnx

x2

对（0，+∞）恒成立，
构造函数h（x）=

lnx

x2

，x＞0，
则h′（x）=

1-2lnx

x3

，
由h′（x）=0，得x=

e

，
又x∈(0，

e

)，h′（x）＞0；x∈（

e

，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）_max=h（

e

）=

1

2e

，
∴k≥

1

2e

，即实数k的取值范围是[

1

2e

，+∞）．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
＜

1

2e

[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=

1

2e

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

)
=

1

2e

(1-

1

n

)，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（1-

1

n

）（n≥2，n∈N^*）．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．