Question

已知过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则称AB为抛物线的焦点弦．求证：
（1）y₁y₂=-p²，x₁x₂=

p2

4

；
（2）

1

FA

+

1

FB

=

2

p

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线AB的方程为my=x-

p

2

，联立

my=x- p 2 y2=2px

，化为y²-2pmy-p²=0，利用根与系数的关系即可得出；
（2）利用焦半径公式即可得出．

解答： 证明：（1）设直线AB的方程为my=x-

p

2

，联立

my=x- p 2 y2=2px

，
化为y²-2pmy-p²=0，
∴y1y2=-p2，y₁+y₂=2pm，
∴x₁x₂=(my1+

p

2

)(my2+

p

2

)=m²y₁y₂+

mp

2

(y1+y2)+

p2

4

=-p²m²+

mp

2

×2mp+

p2

4

=

p2

4

．
（2）∵|FA|=x1+

p

2

，|FB|=x2+

p

2

．
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

1

x1+ p 2

+

1

x2+ p 2

=

x1+x2+p

x1x2+ p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

x1+x2+p

p2 4 + p 2 (x1+x2)+ p2 4

=

2

p

．
∴

1

|FA|

+

1

|FB|

=

2

p

．

点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．