Question

设I是函数y=f（x）的定义域，若存在x₀∈I，使f（x₀）=-x₀，则称x₀是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间I上存在“次不动点”．若函数f（x）=ax³-3x²-x+1在R上存在三个“次不动点x₀”，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-2，0）∪（0，2）
• B、（-2，2）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-1，1）

Answer 1

考点：函数的值

专题：导数的综合应用

分析：由已知ax03-3x02+1=0在R上有三个解，由函数y=ax³-3x²+1有三个零点，由y′=3ax²-6x，利用导数性质能求出a的范围．

解答： 解：∵函数f（x）=ax³-3x²-x+1在R上存在三个“次不动点x₀”，
∴ax03-3x02-x0+1=-x0在R上有三个解，
即ax03-3x02+1=0在R上有三个解，
设y=ax³-3x²+1，
则y′=3ax²-6x，
由已知a≠0，令f′（x）=0，得x=0或x=

2

a

，
当a＞0时，x∈（-∞，0），f′（x）＞0；
x∈（

2

a

，+∞），f′（x）＞0；x∈（0，

2

a

），f′（x）＜0．
欲使f（x）有三个零点，需f（

2

a

）＜0，即a²＜4，由a＞0，解得0＜a＜2；
当a＜0时，x∈（-∞，

2

a

），f′（x）＜0；
x∈（

2

a

，0），f′（x）＞0；x∈（0，+∞），f′（x）＜0．
欲使f（x）有三个零点，需f（

2

a

）＜0，即a²＜4，由a＜0，解得-2＜a＜0．
∴0＜a＜2或-2＜a＜0．
故选：A．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．