Question

下列命题：
①△ABC的三边分别为a，b，c则该三角形是等边三角形的充要条件为a²+b²+c²=ab+ac+bc；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
③若命题P：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x²-x+1＞0，则命题“p且-q“是假命题；
④已知a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂都是不等于零的实数，关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0和a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集分别为P，Q，则

a1

a2

=

b1

b2

=

c1

c2

是P=Q的充分必要条件；
⑤“函数f（x）=tan（x+ϕ）为奇函数”的充要条件是“ϕ=kπ（k∈Z）”．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①：显然a=b=c能推出右边，从右推左边时，应将式子适当变形，能够得到三数相等；
对于②：结合三角形内角的范围及内角和定理以及正弦函数的单调性可以判断；
对于③：分别判断两个简单命题的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得结论；
对于④：举个反例即可说明必要性不成立．
对于⑤：结合正切函数的图象和性质，可以判断．

解答： 解：对于①：显然必要性成立，反之若a²+b²+c²=ab+ac+bc，则2（a²+b²+c^2）=2（ab+ac+bc），整理得（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，当且仅当a=b=c时成立故充分性成立，故①是真命题；
对于②：在三角形中，“A＞B”?“a＞b“?“2RsinA＞2RsinB“?“sinA＞sinB”，故②是真命题；
对于③：命题P：?x∈R，tanx=1为真，；命题q：?x∈R，x²-x+1＞0为真，则命题“p且-q“是假命题，故③是真命题；
对于④：实际上不等式x²+x+5＞0与x²+x+2＞0的解集都是R，但是

1

1

=

1

1

≠

5

2

，故不满足必要性，故④是假命题．
对于⑤：“函数f（x）=tan（x+ϕ）为奇函数”的充要条件是“ϕ=

1

2

kπ（k∈Z）”，故⑤是假命题．
故正确的命题有：①②③，
故答案为：①②③．

点评：本题是简易逻辑与其它知识的综合考查，实际上已命题真假的判断方法为手段考查相关的基础知识，前提是必须熟练准确理解基本概念，掌握基本方法．