Question

已知f（x）=x+

2

x-1

+a，a∈R，
（1）当a=2时，解不等式f（x）≥0；
（2）当x＞1时，若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=2时，不等式f（x）≥0可化为：x+

2

x-1

+2≥0；分当x-1＞0时，和当x-1＜0时，两种情况解不等式，可得答案；
（2）当x＞1时，若f（x）≥0恒成立，则a≥-（x+

2

x-1

）=-（x-1+

2

x-1

+1）恒成立，利用基本不等式求出-（x-1+

2

x-1

+1）的最大值，可得答案．

解答： 解：（1）当a=2时，不等式f（x）≥0可化为：x+

2

x-1

+2≥0；
当x-1＞0时，

2

x-1

＞0，此时x+

2

x-1

+2≥0恒成立，即f（x）≥0恒成立，
当x-1＜0时，

2

x-1

＜0，此时x+

2

x-1

+2≥0可化为x²+x≤0，解得：-1≤x≤0，
综上所述不等式f（x）≥0的解集为：[-1，0]∪（1，+∞），
（2）当x＞1时，若f（x）≥0恒成立，
则a≥-（x+

2

x-1

）=-（x-1+

2

x-1

+1）恒成立，
由x-1+

2

x-1

≥2

2

，故x-1+

2

x-1

+1≥2

2

+1，
∴-（x-1+

2

x-1

+1）≤-2

2

-1，
则a≥-2

2

-1，
即实数a的取值范围为[-2

2

-1，+∞）

点评：本题考查的知识点是分式不等式的解法，基本不等式，恒成立问题，函数的最值，是函数与不等式的综合应用，难度中档．