Question

点P是抛物线y²=4x上的动点，点Q为圆x²+（y-4）²=1上的动点，若P点到y轴的距离为d，则|PQ|+d的最小值为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径．

解答： 解：抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，
圆x²+（y-4）²=1的圆心为C（0，4），
根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，
故d=|PF|-1，
进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：
|PQ|+|PF|=|FC|-r=

17

-1，
故|PQ|+d=PQ|+|PF|-1=

17

-2，
故答案为：

17

-2．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．