Question

4．已知p：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，2x＜m（x²+1），q：函数f（x）=4^x-2^x+1-1+m存在零点，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．

Answer 1

分析 p：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，2x＜m（x²+1）?m＞$（\frac{2x}{{x}^{2}+1}）_{max}$，利用基本不等式的性质即可得出．q：函数f（x）=4^x-2^x+1-1+m存在零点，可得m=（2^x-1）²-2≥-2．利用“p且q”为真命题，即可得出．

解答 解：p：?x∈[$\frac{1}{2}$，2]，2x＜m（x²+1），∴m＞$（\frac{2x}{{x}^{2}+1}）_{max}$，∵$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$≤$\frac{2x}{2x}$=1，当且仅当x=1时取等号．
∴m＞1．
q：函数f（x）=4^x-2^x+1-1+m存在零点，∴m=（2^x-1）²-2≥-2．当且仅当x=0时取等号．
若“p且q”为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{m＞1}\\{m≥-2}\end{array}\right.$，解得m＞1．
则实数m的取值范围为（1，+∞）．
故答案为：（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．