Question

19．复数$\frac{1+ai}{2-i}$（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则复数z=a+i的模为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直接由复数代数形式的乘除运算化简$\frac{1+ai}{2-i}$，再结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后由复数求模公式计算得答案．

解答 解：∵$\frac{1+ai}{2-i}$=$\frac{（1+ai）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{2-a+（1+2a）i}{5}$=$\frac{2-a}{5}+\frac{1+2a}{5}i$为纯虚数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2-a}{5}=0}\\{\frac{1+2a}{5}≠0}\end{array}\right.$，解得a=2．
∴z=2+i．
则复数z=2+i的模为：$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念以及复数模的求法，是基础题．