Question

如图，已知AB是圆柱OO₁底面圆O的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π；点C在底面圆O上，且直线A₁C与下底面所成的角的大小为60°．
（1）求点A到平面A₁CB的距离；
（2）求二面角A-A₁B-C的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）确定∠A₁CA是直线A₁C与下底面所成的角，以A为坐标原点，以AB、AA₁分别为y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面A₁CB的一个法向量，利用距离公式，即可求点A到平面A₁CB的距离；
（2）平面A₁AB的一个法向量为

m

=（1，0，0），由（1）知平面A₁CB的一个法向量

n

=（

3

2

，

3

2

，1），利用向量的夹角公式，即可求二面角A-A₁B-C的大小．

解答： 解：（1）设AA₁=h，因为底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，
所以2π×1²+2πh=8π，解得h=3．
因为AA₁⊥底面ACB，所以AC是A₁C在底面ACB上的射影，
所以∠A₁CA是直线A₁C与下底面所成的角，即∠A₁CA=60°
在直角三角形A₁CA中，A₁A=3，∠A₁CA=60°，所以AC=

3

．
AB是底面直径，所以∠CAB=

π

6

．
以A为坐标原点，以AB、AA₁分别为y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，0，0）、C（

3

2

，

3

2

，0）、A₁（0，0，3）、B（0，2，0），
于是

AC

=（

3

2

，

3

2

，0），

A1B

=（0，2，3），

CB

=（-

3

2

，

1

2

，0）
设平面A₁CB的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

- 3 2 x+ 1 2 y=0 2y-2z=0

，
不妨令z=1，则

n

=（

3

2

，

3

2

，1），
所以A到平面A₁CB的距离d=

| n • AC |

| n |

=

3

2

所以点A到平面A₁CB的距离为

3

2

．
（2）平面A₁AB的一个法向量为

m

=（1，0，0）
由（1）知平面A₁CB的一个法向量

n

=（

3

2

，

3

2

，1），
二面角A-A₁B-C的大小为θ，则|cosθ|=

3

4

．
由于二面角A-A₁B-C为锐角，所以二面角A-A₁B-C的大小为arccos

3

4

．

点评：本题考查二面角大小的计算，考查点到平面距离的计算，正确运用向量方法是关键．