Question

已知函数f（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx，a∈R
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程；
（Ⅲ）若在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（I）当a=1时，f(x)=

1

2

x2-2x+lnx，f′(x)=x-2+

1

x

=

(x-1)2

x

．由于?x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，即可得到f（x）在区间[1，e]上单调递性，即可得出最值．
（II）分别计算出g（1），g′（1），利用导数的几何意义可得g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线斜率及其方程．
（III）函数f（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx的定义域为（1，+∞），f′（x）=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．对a分类讨论：
（i）当a≤

1

2

时，利用导数研究其单调性即可得出．（ii）当a＞

1

2

时，令f′（x）=0，解得x₁=1，x2=

1

2a-1

．进一步分类讨论：当1=x₁＜x₂时，即

1

2

＜a＜1时，②当x₂≤x₁=1时，即a≥1，研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（I）当a=1时，f(x)=

1

2

x2-2x+lnx，f′(x)=x-2+

1

x

=

(x-1)2

x

．
对于?x∈[1，e]，f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在区间[1，e]上单调递增．
∴f（x）_max=f（e）=

1

2

e2-2e+1，f(x)min=f(1)=-

3

2

．
（II）g（x）=(a-

1

2

)x2-ax+lnx，g（1）=-

1

2

．
g′（x）=（2a-1）x-a+

1

x

，g′（1）=a．
∴g（x）=f（x）+ax在x=1处的切线方程是
y+

1

2

=a（x-1），即y=ax-(a+

1

2

)；
（III）函数f（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx的定义域为（1，+∞），f′（x）=(2a-1)x-2a+

1

x

=

(x-1)[(2a-1)x-1]

x

．
（i）当a≤

1

2

时，恒有f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．
要满足在区间（1，+∞）上，f（x）＜0恒成立，则f（1）=-a-

1

2

≤0即可，解得a≥-

1

2

．
∴实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．
（ii）当a＞

1

2

时，令f′（x）=0，解得x₁=1，x2=

1

2a-1

．
①当1=x₁＜x₂时，即

1

2

＜a＜1时，在区间（x₂，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）在此区间上单调递增，不合题意，应舍去．
②当x₂≤x₁=1时，即a≥1，在区间（1，+∞）上有f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，不合题意．
综上（i）（ii）可知：实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．