Question

已知等比数列{a_n}满足：a₂=4公比q=2，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=

4

3

b_n-

2

3

a_n+

2

3

（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项a_n和b_n；
（2）设c_n=

bn

an

（n∈n^*），证明：

c1

c2

+

c2

c3

+…+

cn

cn+1

＜

n

2

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得an=a2qn-2=2n，所以S_n=

4

3

b_n-

2

3

（2ⁿ-1），由此能推导出数列{bn+2n}是首项为b₁+2=4，公比为4的等比数列，从而得到bn=4n-2n．
（2）由cn=

bn

an

，得cn=

4n-2n

2n

=2n-1，所以

c   k

ck+1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，由此能证明

c1

c2

+

c2

c3

+…+

cn

cn+1

＜

n

2

．

解答： （1）解：由a₂=4，q=2得，
an=a2qn-2=2n，（2分）
∵S_n=

4

3

b_n-

2

3

a_n+

2

3

（n∈N^*），
∴S_n=

4

3

b_n-

2

3

（2ⁿ-1），（n∈N^*），
则当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

4

3

bn-

2

3

(2n-1)-

4

3

bn-1+

2

3

(2n-1-1)，（4分）
∴bn-2n+1-4bn-1+2n=0，（5分）
∴bn+2n=4(bn-1+2n-1)，（7分）
∵b1=S1=

4

3

b1-

2

3

×1，∴b₁=2，（8分）
∴数列{bn+2n}是首项为b₁+2=4，公比为4的等比数列，（9分）
∴bn+2n=4×4n-1=4ⁿ，∴bn=4n-2n．（10分）
（2）证明：由cn=

bn

an

，得cn=

4n-2n

2n

=2n-1，（11分）
∵

c   k

ck+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，3，…，n．（13分）
∴

c1

c2

+

c2

c3

+…+

cn

cn+1

＜

n

2

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．