Question

设定义在R上函数f（x）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），x∈[0，1]，f（x）=x³且f（x-1）=cosπx，x∈[-2，4]有实数根之和为（　　）

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件判断函数的奇偶性和周期性，利用函数和方程之间的关系，转化为两个函数图象问题，利用数形结合以及函数的对称性即可得到结论．

解答： 解：∵f（-x）=f（x），∴函数f（x）是偶函数，
∵f（x）=f（2-x），
∴f（x）=f（2-x）=f（x-2），
即函数f（x）是周期为2的周期函数，
则f（x）的简图如图（虚线），
将函数f（x）向右平移1个单位，得到函数f（x-1）的图象（红线），则函数f（x-1）关于x=1对称，
∵y=cosπx的图象也关于x=1对称，
∴由图象可知函数y=f（x-1）和y=cosπx，x∈[-2，4]共有10个交点，它们彼此关于x=1对称，
设对称的两个实根为a，b，
则a+b=2，
故所有的实根之和为5×2=10，
故选：，C．

点评：本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的性质，利用数形结合是解决本题的关键．综合考查函数的性质．