题目内容
已知函数f（x）=
+a是奇函数．
（1）求实数a和f（-2）的值；
（2）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
| 2x |
| 2x+1 |
（1）求实数a和f（-2）的值；
（2）判断f（x）在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．
考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明
专题：计算题,证明题,函数的性质及应用
分析：（1）由题意知f（0）=
+a=0，从而解出a，再求f（-2）；
（2）先判断函数的单调性，再证明．
| 1 |
| 2 |
（2）先判断函数的单调性，再证明．
解答：
解：（1）∵f（x）=
+a是奇函数，
∴f（0）=
+a=0；
故a=-
；
经检验，f（x）=
-
是奇函数，
f（-2）=
-
=-
；
（2）f（x）在其定义域上是增函数，证明如下，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
-
=
＜0；
故f（x）在其定义域R上是增函数．
| 2x |
| 2x+1 |
∴f（0）=
| 1 |
| 2 |
故a=-
| 1 |
| 2 |
经检验，f（x）=
| 2x |
| 2x+1 |
| 1 |
| 2 |
f（-2）=
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 10 |
（2）f（x）在其定义域上是增函数，证明如下，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）-f（x2）=
| 2x1 |
| 2x1+1 |
| 2x2 |
| 2x2+1 |
=
| 2x1-2x2 |
| (2x1+1)(2x2+1) |
故f（x）在其定义域R上是增函数．
点评：本题考查了函数的性质的判断与证明及应用，属于基础题．
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