Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，且PA=AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，E为AB的中点．
（I）证明：PC⊥CD；
（II）在线段PA上是否存在一点F，使EF∥平面PCD，若存在，求

AF

FP

的值．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）首先根据已知条件，利用线面垂直的判定定理，证出线面垂直，进一步转化成线线垂直．
（Ⅱ）首先假设存在一点P，使得EF∥平面PCD，进一步利用面面平行转化成线面平行，最后得出结论成立，说明点的存在．

解答： （Ⅰ）证明：平面ABCD，CD?平面ABCD．
∴PA⊥CD．
因为ABCD为直角梯形，且AB=BC=1，
∴AC=

2

，取AD的中点M，连接CM、CA，
易知四边形ABCM为矩形，
所以AC=CD=

CM2+AM2

=

2

，
因为AD=2，所以△ACD为直角三角形，
∴AC⊥CD，
又PA∩AC=A．
所以CD⊥平面PAC，
PC?平面PAC．
∴PC⊥CD．
（Ⅱ）解：假设在PA上存在一点F，当

AF

FP

=

1

3

时，EF∥平面PCD．
取AM的中点G，则GE为△ABM的中位线，
所以EG∥BM，
又因为四边形ABCM为矩形，
所以BM∥CD，
∴EG∥CD．
因为

AG

GD

=

1

3

，在PA上取一点F，使

AF

FP

=

1

3

，
则GF∥PD．
∵EG∩GF=G，
所以平面EGF∥平面PCD．
因为EF?平面EGF．所以EF∥平面PCD．
即当

AF

FP

=

1

3

时，EF∥平面PCD．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面垂直与线线垂直之间的转化，存在性问题的应用，面面平行与线面平行之间的转化．属于中等题型．