Question

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-3.5]=-4，[2.1]=2，当x∈（-2.5，3]时．
①写出函数f（x）的解析式；②作出函数f（x）的图象；
③若直线y=mx与函数f（x）=[x]，x∈（-2.5，3]的图象有且仅有2个公共点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：①根据f（x）=[x]的定义，利用分段函数求出函数的解析式，
②作出对应的图象即可．
③根据图象，求出直线y=mx过特殊点的斜率，继而求出m的范围

解答： 解：①根据函数f（x）=[x]的定义可知：
当-2.5＜x＜-2时，f（x）=-3，
当-2≤x＜-1时，f（x）=-2，
当-1≤x＜0时，f（x）=-1，
当0≤x＜1时，f（x）=0，
当1≤x＜2时，f（x）=1，
当2≤x＜3时，f（x）=2，
当x=3时，f（x）=3，
即
f(x)=

-3，-2.5＜x＜-2 -2，-2≤x＜-1 -1，-1≤x＜0 0，0≤x＜1 1，1≤x＜2 2，2≤x＜3 3，x=3

，
②对应的图象如右图所示：
③直线y=mx是过原点的一条直线，如图所示
当直线过点A时，m=

1

2

，此时一个交点，
当直线过点B时，m=

2

3

，此时一个交点，
由图可以看出当

1

2

＜m＜

2

3

时，有两个交点，
当直线过点D时，m=2，此时两个交点，
由图可以看出当m＞2时，有两个交点，
综上所述：m的取值范围为（

1

2

，

2

3

）∪[2，+∞）

点评：本题主要考查函数解析式的求法，利用函数的定义建立函数关系是解决本题的关键，以及分段函数的画法与交点的个数问题，属于中档题