题目内容
某教育主管部门到一所中学检查学生的体质健康情况．从全体学生中，随机抽取12名进行体质健康测
试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
（Ⅰ）将频率视为概率．根据样本估计总体的思想，在该校学生中任选3人进行体质健康测试，求至多有1人成绩是“优良”的概率；
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．
试，测试成绩（百分制）以茎叶图形式表示如下：根据学生体质健康标准，成绩不低于76的为优良．
| 成绩 | ||||||
| 5 | 2 | |||||
| 6 | 5 | |||||
| 7 | 2 | 8 | ||||
| 8 | 6 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 |
| 9 | 0 | 8 | ||||
（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）由题意知从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是
，由此能求出在该校学生中任选3人，至多有1人成绩是优良的概率．
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．
| 3 |
| 4 |
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．
解答：
解：（Ⅰ）从该校学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是
，
设“在该校学生中任选3人，至多有1人成绩是‘优良’的事件”为A，
则P（A）=
(1-
)3+
(1-
)2•
=
．（6分）
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
=
，P（ξ=1）=
=
，
P（ξ=2）=
=
，P（ξ=3）=
=
，
∴ξ的分布列为：
Eξ=0×
+1×
+2×
+3×
=
．（12分）
| 3 |
| 4 |
设“在该校学生中任选3人，至多有1人成绩是‘优良’的事件”为A，
则P（A）=
| C | 0 3 |
| 3 |
| 4 |
| C | 1 3 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 32 |
（Ⅱ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=
| ||
|
| 1 |
| 220 |
| ||||
|
| 27 |
| 220 |
P（ξ=2）=
| ||||
|
| 27 |
| 55 |
| ||
|
| 21 |
| 55 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 220 |
| 27 |
| 220 |
| 27 |
| 55 |
| 21 |
| 55 |
| 9 |
| 4 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．
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