题目内容
已知点A（1，2）在矩阵M=[
]（a，b，∈R）对应的变换作用下得到点A′（6，7）．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．
|
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量．
考点：特征值与特征向量的计算,几种特殊的矩阵变换
专题：选作题,矩阵和变换
分析：（Ⅰ）利用待定系数法求矩阵M；
（Ⅱ）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（Ⅱ）先根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
解答：
解：（Ⅰ）由题意，[
]
=
，
∴
，∴
，
∴M=
；
（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=4，
设λ1=1对应的一个特征向量为
=
，
则由λ1
=M
，得-x-2y=0
可令x=2，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
=
，
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=4对应的一个特征向量为
=
．
|
|
|
∴
|
|
∴M=
|
（Ⅱ）M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-4），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=4，
设λ1=1对应的一个特征向量为
| α |
|
则由λ1
| α |
| α |
可令x=2，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
| α |
|
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=4对应的一个特征向量为
| β |
|
点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
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已知平面向量
=（λ，-2），
=（4，1），若
∥
，则实数λ等于（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、-
| ||
B、
| ||
| C、-8 | ||
| D、8 |
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