Question

17．已知函数f（x）=|x+2|-2|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥-2的解集M；
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x-a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对x≤-2，-2＜x＜1与x≥1三类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取其并集即可；
（Ⅱ）在坐标系中，作出f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{4-x，x≥1}\end{array}\right.$的图象，对任意x∈[a，+∞），都有f（x）≤x-a成立，分-a≥2与-a＜2讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x+2|-2|x-1|，∴不等式f（x）≥-2即 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{x-4≥-2}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜1}\\{3x≥-2}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{4-x≥-2}\end{array}\right.$③．
解①求得x∈∅，解②求得-$\frac{2}{3}$≤x＜1，解③求得1≤x≤6，
综上，不等式的解集为M={x|-$\frac{2}{3}$≤x≤6}．
（Ⅱ）对任意x∈[a，+∞]，都有f（x）≤x-a成立，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{4-x，x≥1}\end{array}\right.$ 的图象如图所示：
令y=x-a，则此直线斜率为1，-a表示直线的纵截距，故函数f（x）的图象在直线y=x-a的下方或在直线上．
当直线过（1，3）点时，-a=2，即a=-2；
∴当-a≥2，即a≤-2时，条件成立；
当-a＜2，即a＞-2时，令-x+4=x-a，得x=2+$\frac{a}{2}$，
∴a≥2+$\frac{a}{2}$，即a≥4时，条件成立，
综上a≤-2或a≥4．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的性质及应用，考查等价转化思想与作图分析能力，突出恒成立问题的考查，属于难题．