Question

9．已知等差数列{a_n}中的公差是d，且d＜0，a_i∈{1，-2，3，-4，5}（i=1，2，3），在数列{b_n}中，b₁=1，点B_n（n，b_n）在函数g（x）=a•2^x的图象上运动，其中a是与x无关的常数
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）推导出a₁＞a₂＞a₃，且2a₂=a₁+a₃，从而得到a_n=7-2n，由点B_n（n，b_n）在函数g（x）=a•2^x的图象上，得到${b_n}=a•{2^n}$，再由b₁=1，求出${b_n}={2^{n-1}}$．
（2）由${c_n}={a_n}{b_n}={a_n}•{2^{n-1}}$，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）因为等差数列{a_n}中的公差是d＜0，
所以a₁＞a₂＞a₃，且2a₂=a₁+a₃
所以a₁=5，a₂=3，a₃=1，即d=-2…..（2分）
所以a_n=5-2（n-1）=7-2n…（4分）
因为点B_n（n，b_n）在函数g（x）=a•2^x的图象上，
所以${b_n}=a•{2^n}$，
又因为b₁=1，所以$a=\frac{1}{2}$，
所以${b_n}={2^{n-1}}$…（6分）
（2）因为${c_n}={a_n}{b_n}={a_n}•{2^{n-1}}$
所以${S_n}={a_1}•{2^0}+{a_2}•{2^1}+{a_3}•{2^2}+…+{a_n}•{2^{n-1}}$①
$2{S_n}={a_1}•{2^1}+{a_2}•{2^2}+{a_3}•{2^3}+…+{a_{n-1}}•{2^{n-1}}+{a_n}•{2^n}$②…（8分）
①-②得，$-{S_n}={a_1}•{2^0}+d•{2^1}+d•{2^2}+…+d•{2^{n-1}}-{a_n}•{2^n}$…．（10分）
所以$-{S_n}={2^0}{a_1}-2×\frac{{2-{2^n}}}{1-2}-{2^n}{a_n}$，
即${S_n}=（9-2n）•{2^n}-9$…．（12分）

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列、错位相减法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．