Question

6．已知a＞0，b＞0，且a+b=1．
（1）若ab＜m恒成立，求m的取值范围；
（2）若$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$≥|2x-1|-|x+2|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意利用基本不等式求得ab的最大值，可得m的范围．
（2）利用用基本不等式求得$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9，可得9≥|2x-1|-|x+2|恒成立，分类讨论、去掉绝对值，求得x的范围，综合可得结论．

解答 （1）解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，由基本不等式得：$ab≤{（\frac{a+b}{2}）^2}=\frac{1}{4}$，
当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时等号成立，由ab＜m恒成立，∴$m＞\frac{1}{4}$．
（2）解：∵a＞0，b＞0，且a+b=1，∴$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}=（\frac{4}{a}+\frac{1}{b}）（a+b）=5+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}≥9$，
若$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}≥|2x-1|-|x+2|$恒成立，则|2x-1|-|x+2|≤9．
当x≤-2时，不等式化为：1-2x+x+2≤9，解得：-6≤x≤-2；
当$-2＜x＜\frac{1}{2}$时，不等式化为：1-2x-x-2≤9，解得：$-2＜x＜\frac{1}{2}$；
当$x≥\frac{1}{2}$时，不等式化为：2x-1-x-2≤9，解得：$\frac{1}{2}≤x≤12$，
综上可得，x的取值范围是[-6，12]．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．