Question

12．已知函数f（x）=|2x-a|，且不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}．
（Ⅰ）求实数a的值．
（Ⅱ）解不等式f（x）-|x+2|＞x+1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得不等式f（x）≤5 的解集，再根据它的解集为{x|-2≤x≤3}，求得a的值．
（Ⅱ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）≤5，即|2x-a|≤5，∴-5≤2x-a≤5，∴$\frac{a-5}{2}$≤x≤$\frac{a+5}{2}$．
再根据不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}，可得$\frac{a-5}{2}$=-2，且 $\frac{a+5}{2}$=3，可得a=1．
（Ⅱ）不等式f（x）-|x+2|＞x+1，即|2x-1|≥|x+2|+x+1，
即 $\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{1-2x≥-1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x≥2x+3}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x-1≥2x+3}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤-2，解②求得-2＜x≤-$\frac{1}{2}$，解③求得x∈∅，
综上可得，原不等式的解集为{x x≤-$\frac{1}{2}$}．

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．