Question

8．已知a，b，x，y∈R，证明：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²，并利用上述结论求（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）的最小值（其中x∈R）．

Answer 1

分析 由作差法，可得（a²+b²）（x²+y²）-（ax+by）²，展开后运用完全平方公式，即可得证；再由（sin²x+cos²x））（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）≥（sinx•$\frac{1}{sinx}$+cosx•$\frac{2}{cosx}$）²，计算即可得到所求最小值．

解答 证明：a，b，x，y∈R，
（a²+b²）（x²+y²）-（ax+by）²
=a²x²+a²y²+b²x²+b²y²-（a²x²+b²y²+2abxy）
=a²y²+b²x²-2abxy
=（ay-bx）²≥0，
当且仅当ay=bx等号成立，
即有（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²；
解：由上式可得
（sin²x+cos²x）（$\frac{1}{si{n}^{2}x}$+$\frac{4}{co{s}^{2}x}$）
≥（sinx•$\frac{1}{sinx}$+cosx•$\frac{2}{cosx}$）²=（1+2）²=9，
当且仅当sin²x=$\frac{co{s}^{2}x}{2}$，即有tanx=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，取得最小值9．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用作差法，考查函数的最小值的求法，注意运用已知不等式，考查运算能力，属于中档题．