Question

20．已知函数f（x）=9^x-4•3^x+3
（1）求方程f（x）=0的解；
（2）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得（3^x-1）（3^x-3）=0，结合指数函数的运算性质，即可得到所求解；
（2）令t=3^x，当x∈[0，2]时，可得t∈[1，9]，则g（t）=t²-4t+3，运用二次函数在闭区间的最值求法，即可得到所求最值．

解答 解：（1）函数f（x）=9^x-4•3^x+3，
可得9^x-4•3^x+3=0，
即（3^x-1）（3^x-3）=0，
解得3^x=1，可得x=0；
3^x=3，可得x=1；
即有f（x）=0的解为0和1；
（2）令t=3^x，当x∈[0，2]时，
可得t∈[1，9]，
则g（t）=t²-4t+3，
当t=2∈[1，9]，g（t）取得最小值，且为-1；
当t=9时，g（t）取得最大值，且为48．
则x=log₃2时，f（x）取得最小值-1；
x=2时，f（x）取得最大值48．

点评 本题考查指数方程的解法，注意运用指数的运算性质，考查指数函数型的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．