Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₃=9，a₅+b₂=11．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

an

bn

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设公差、公比分别为d、q，利用题意和等差、等比数列的通项公式列出方程组，求出d、q的值，再代入a_n和b_n化简即可；
（Ⅱ）先利用条件求出

an

bn

，再利用错位相减法求出数列的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）设公差、公比分别为d、q，
依题意得

a1+2d+b1q2=9 a1+4d+b1q=11

，即

1+2d+q2=9 1+4d+q=11

，解得

d=2 q=2

，
所以a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
bn=1×2n-1=2^n-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
则S_n=1•(

1

2

)0+3•(

1

2

)1+…+(2n-1)(

1

2

)n-1，

1

2

S_n=1•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+…+(2n-3)(

1

2

)n-1+(2n-1)(

1

2

)n，
两式相减得，

1

2

S_n=1+2（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）-(2n-1)(

1

2

)n
=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-(2n-1)(

1

2

)n=3-

3+2n

2n

，
所以S_n=6-

3+2n

2n-1

．

点评：本题考查等差、等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，一般应先求数列的通项公式，再根据其特点选择求和方法，考查化简能力．