Question

如图，设四棱锥E-ABCD的底面为菱形，且∠ABC=60°，AB=EC=2，AE=BE=

2

．
（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）取AB的中点O，连结EO、CO，由已知得△ABC是等边三角形，由此能证明平面EAB⊥平面ABCD．
（II）V_E-ABCD=

1

3

S菱形ABCD•EO，由此能求出四棱锥E-ABCD的体积．

解答： （I）证明：取AB的中点O，连结EO、CO．
由AE=BE=

2

，知△AEB为等腰直角三角形．
故EO⊥AB，EO=1，又AB=BC，∠ABC=60°，
则△ABC是等边三角形，从而CO=

3

．
又因为EC=2，所以EC²=EO²+CO²，
所以EO⊥CO．
又EO⊥AB，CO∩AB=O，因此EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EAB，故平面EAB⊥平面ABCD．…（8分）
（II）解：V_E-ABCD=

1

3

S菱形ABCD•EO
=

1

3

×2×2×sin60°×1
=

2 3

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．