Question

已知函数f（x）=ax+

x

x-1

（x＞1），若a是从0，1，2三数中任取一个，b是从1，2，3，4四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（　　）

• A、

  2

  3

• B、

  7

  20

• C、

  2

  5

• D、

  1

  2

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：由恒成立和分类讨论可得当a＞0时有7种情况，当a=0时有1种情况，而总的共12种，由概率公式可得．

解答： 解析：当a＞0时，由x＞1知f（x）=ax+

x

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+a+1≥2

a

+a+1=（

a

+1）²，
∵f（x）＞b恒成立，∵（

a

+1）²＞b恒成立，
若b=1，则a=1，2；若b=2，则a=1，2；
若b=3，则a=1，2；若b=4，则a=2，共7种情况．
当a=0时，f（x）=

1

x-1

+1＞1，b=1适合，
故所求概率为P=

8

3×4

=

2

3

．
故选：A

点评：本题考查古典概型，涉及恒成立和分类讨论以及基本不等式，属中档题．