Question

（Ⅰ）双曲线与椭圆

x2

27

+

y2

36

=1有相同焦点，且经过点（

15

，4），求其方程；
（Ⅱ）求焦点在x-2y-4=0上的抛物线的标准方程．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程,双曲线的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出椭圆的焦点，设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，代入点（

15

，4），即可求出求其方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用抛物线的焦点在坐标轴上，即可求焦点在x-2y-4=0上的抛物线的标准方程．

解答： 解：（Ⅰ）椭圆

y2

36

+

x2

27

=1的焦点为（0，±3），c=3，…（2分）
设双曲线方程为

y2

a2

-

x2

9-a2

=1，因为过点(

15

，4)，得

16

a2

-

15

9-a2

=1，得a²=4，或36，
而a²＜9，∴a²=4，双曲线方程为

y2

4

-

x2

5

=1．…（6分）
（Ⅱ）由题意知抛物线的焦点在坐标轴上，又焦点在x-2y-4=0上，
令x=0，得y=-2，此时焦点为（0，-2），求得抛物线为x²=-8y…（8分）
令y=0，得x=4，焦点为（4，0）求得抛物线为y²=16x，
∴所求抛物线为x²=-8y和y²=16x．…（12分）

点评：本题考查双曲线、椭圆、抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．