Question

16．若对任意a∈[3，5]关于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在区间[3，m]上都有实数解，则实数m的取值范围是（　　）

• A． {m|m≥4}
• B． {m|m≥2$\sqrt{3}$}
• C． {m|m≤2$\sqrt{3}$或m≥4}
• D． {m|4≤m≤2$\sqrt{3}$}

Answer 1

分析 利用[3，m]推出m＞3，排除选项，然后利用特殊值验证即可．

解答 解：对任意a∈[3，5]关于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在区间[3，m]上都有实数解，
可得m＞3，所以，C，D不正确；
当m=2$\sqrt{3}$时，关于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0化为：x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6=0，
命题转化为：对任意a∈[3，5]关于x的方程x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6=0在区间[3，2$\sqrt{3}$]上都有实数解，
令y=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6，则y′=2x-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$，x∈[3，2$\sqrt{3}$]，a∈[3，5]，y′＞0，函数y=x²-$\frac{2\sqrt{3}}{a-1}$x-6是增函数，
f（2$\sqrt{3}$）=6-$\frac{12}{a-1}$≥0，所以对任意a∈[3，5]关于x的方程x²-$\frac{m}{a-1}$x-6=0在区间[3，m]上没有实数解，
所以m=2$\sqrt{3}$不成立．
故选：A．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，选择题的解法，考查分析问题解决问题的能力．