Question

11．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，又α，β为锐角三角形的两内角，则（　　）

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（sinα）＞f（sinβ）
• C． f（sinα）＜f（cosβ）
• D． f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

分析 由题意可得可得α+β＞$\frac{π}{2}$，故α＞$\frac{π}{2}$-β，可得 sinα＞cosβ，再由函数f（x）为（0，1）上的增函数，可得结论．

解答 解：由于α，β为锐角三角形的两内角，可得α+β＞$\frac{π}{2}$，
∴α＞$\frac{π}{2}$-β，∴sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β），
故有 sinα＞cosβ，
再由函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，
由f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
故f（x）为（0，1）上的增函数，可得f（sinα）＞f（cosβ），
故选：A．

点评 本题主要考查函数的单调性的定义和性质，得到sinα＞cosβ，是解题的关键，属于中档题．