Question

4．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x；
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤（$\frac{x+1}{2}$）²；
（3）f（x）在R上的最小值为0．求：
（Ⅰ）f（x）的解析式．
（Ⅱ）当f（x）∈[$\frac{1}{4}$，2]时，求x最大的范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对称轴以及函数的最值列出方程，求出a，b，c即可得到函数的解析式．
（Ⅱ）利用二次函数的闭区间求解函数的最值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x-4）=f（2-x）知f（x）的对称轴为x=-1
即$\frac{-b}{2a}=-1$，
由f（x）≥x及x∈（0，2）时，$f（x）≤{（\frac{x+1}{2}）^2}$知f（1）=1
即a+b+c=1，
由f（x）在R上的最小值为0知$\frac{{4ac-{b^2}}}{4a}=0$
即b²=4ac，
解得$a=\frac{1}{4}，b=\frac{1}{2}，c=\frac{1}{4}$
所以$f（x）=\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}$，
（Ⅱ）$f（x）∈[\frac{1}{4}，2]$时x最大的范围$?\frac{1}{4}≤f（x）≤2$，
解得：$-1-2\sqrt{2}≤x≤-2$或$0≤x≤-1+2\sqrt{2}$，
所以x最大的范围为$\left\{{x|-1-2\sqrt{2}≤x≤-2或0≤x≤-1+2\sqrt{2}}\right\}$．

点评 本题考查二次函数的最值的应用，二次函数的解析式的求法，考查计算能力．