Question

5．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$①
第二步：将数列①的各项乘以$\frac{n}{2}$，得到一个新数列a₁，a₂，a₃，…，a_n．
则a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=（　　）

• A． $\frac{{n}^{2}}{4}$
• B． $\frac{（n-1）^{2}}{4}$
• C． $\frac{n（n-1）}{4}$
• D． $\frac{n（n+1）}{4}$

Answer 1

分析 由题意可得求得数列{a_n}，则a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=$\frac{n}{2}$•$\frac{n}{4}$+$\frac{n}{4}$•$\frac{n}{6}$+$\frac{n}{6}$•$\frac{n}{8}$+…+$\frac{n}{2（n-1）}$•$\frac{n}{2n}$，提公因数，可知a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=$\frac{{n}^{2}}{4}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$），利用裂项法即可求得a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n的值．

解答 解：1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$①，
将数列①的各项乘以$\frac{n}{2}$，得到一个新数列$\frac{n}{2}$，$\frac{n}{4}$，$\frac{n}{6}$，…，$\frac{n}{2n}$，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_n-1a_n=$\frac{n}{2}$•$\frac{n}{4}$+$\frac{n}{4}$•$\frac{n}{6}$+$\frac{n}{6}$•$\frac{n}{8}$+…+$\frac{n}{2（n-1）}$•$\frac{n}{2n}$，
=$\frac{{n}^{2}}{4}$（$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{（n-1）n}$），
=$\frac{{n}^{2}}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
=$\frac{{n}^{2}}{4}$×$\frac{n-1}{n}$，
=$\frac{n（n-1）}{4}$，
故选C．

点评 本题考查数列的求和，考查“裂项法”求数列前n项和的应用，考查计算能力，属于中档题．