Question

已知函数f（x）=e^x-ax-a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有

2

2+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ） 当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，从而由导数的正负确定函数的单调性及极值；
（Ⅱ）求导f′（x）=e^x-a，从而讨论确定函数的单调性，由函数的单调性确定函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，从而可化出ln（x+1）≤x，令x=

1

2n

（n∈N^*），从而得到ln(1+

1

2n

)＜

1

2n

，从而证明．

解答： 解：（Ⅰ） 当a=e时，f（x）=e^x-ex-e，f′（x）=e^x-e，
当x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．
所以函数f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=1处取得极小值f（1）=-e，函数f（x）无极大值．

（Ⅱ）由f（x）=e^x-ax-a，f′（x）=e^x-a，
若a＜0，则f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，
故函数f（x）存在唯一零点x₀，
当x＜x₀时，f（x）＜0；当x＞x₀时，f（x）＞0．
故a＜0不满足条件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，满足条件．
若a＞0，由f′（x）=0，得x=lna，
当x＜lna时，f′（x）＜0；当x＞lna时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．

（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=1时，f（x）≥0恒成立，
所以f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即e^x≥x+1，
所以ln（x+1）≤x，令x=

1

2n

（n∈N^*），
得ln(1+

1

2n

)＜

1

2n

，
则有ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1，
所以(1+

1

2

)(1+

1

22

)•…•(1+

1

2n

)＜e，
所以

1

(1+ 1 2 )(1+ 1 22 )•…•(1+ 1 2n )

＞

1

e

，
即

2

2+1

×

22

22+1

×…×

2n

2n+1

＞

1

e

．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，难点在于证明不等式时函数的构造与化简，属于难题．