Question

（1）若数列{a_n}是等差数列，对于b_n=（

1

n

）（a₁+a₂+…+a_n），则数列{b_n}也是等差数列，类比上述性质，若{c_n}是各项为正数的等比数列，则数列{d_n}（d＞0）也是等比数列，写出d_n的表达式，并且证明你类比得到的命题是否为真命题．（2）设x＞0，y＞0，证明不等式（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明,类比推理

专题：综合题,不等式的解法及应用,推理和证明

分析：（1）在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等；
（2）所证不等式即：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．只需证：x²+y²＞

2

3

xy，即可得出结论．

解答： 解：（1）类比推断：若数列{c_n}是各项均为正数的等比数列，则当d_n=

n	c1c2…cn

时，数列{d_n}也是等比数列．
{c_n}是各项为正数的等比数列，公比为q，则c_n=c₁q^n-1，
∴d_n=

n	c1c2…cn

=

n	(c1)n•q (n-1)n 2

=c₁q

n-1

2

，
∴数列{d_n}也是等比数列．
（2）所证不等式即：（x²+y²）³＞（x³+y³）²．
即：x⁶+y⁶+3x²y²（x²+y²）＞x⁶+y⁶+2x³y³，
即：3x²y²（x²+y²）＞2x³y³，
只需证：x²+y²＞

2

3

xy，
∵x²+y²≥2xy＞

2

3

xy成立
∴（x²+y²） 

1

2

＞（x³+y³） 

1

3

．

点评：本题考查的知识点是类比推理、不等式的证明，其中（1）类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；（2）考查的知识点是分析法证明．