Question

已知函数f（x）=alnx+

b

x

（a，b≠0，a，b∈R）
（1）当b=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当b=a²时，若存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：函数f（x）=alnx+

b

x

的定义域为（0，+∞），
（1）当b=1时，f（x）=alnx+

1

x

；求导f′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

；从而讨论确定导数的正负以确定函数的单调性；
（2）当b=a²时，f（x）=alnx+

a2

x

；求导f′（x）=

a(x-a)

x2

，讨论确定导数的正负以确定函数的单调性，从而化存在性问题为最值问题．

解答： 解：函数f（x）=alnx+

b

x

的定义域为（0，+∞），
（1）当b=1时，f（x）=alnx+

1

x

；
f′（x）=

a

x

-

1

x2

=

ax-1

x2

；
故当a＜0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立；
故函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞0，当x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＜0；
当x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，

1

a

）上是减函数，在（

1

a

，+∞）上是增函数；
（2）当b=a²时，f（x）=alnx+

a2

x

；
f′（x）=

a(x-a)

x2

，
当a＜0时，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，e]上是减函数，
故存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化为
f（e）=a+

a2

e

＜0；
故-e＜a＜0；
当a＞0，f（x）在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数；
故当0＜a＜e时，存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化为
f（a）=alna+a＜0，故0＜a＜

1

e

；
当a≥e时，存在x₀∈（0，e]，使得f（x₀）＜0成立可化为
f（e）=a+

a2

e

＜0，无解；
故实数a的取值范围为（-e，0）∪（0，

1

e

）．

点评：本题考查了导数的综合应用及存在性问题化为最值问题的处理方法应用，属于中档题．