Question

已知椭圆方程为C：

x2

25

+

y2

9

=1．
（1）求以中点为（4，1）的弦所在直线方程；
（2）求斜率为3的直线与椭圆相交所得的弦的中点的轨迹．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设点M（4，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用“点差法”即可得出直线的斜率，再利用点斜式即可得出．
（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于3，化简，即可得斜率为3的平行弦的中点轨迹方程．

解答： 解：（1）设点M（4，1）为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则

x 2 1

25

+

y 2 1

9

=1，

x 2 2

25

+

y 2 2

9

=1，
相减得

(x1+x2)(x1-x2)

25

+

(y1+y2)(y1-y2)

9

=0，
∵

x1+x2

2

=4，

y1+y2

2

=1，∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=-

36

25

．
∴所求的直线方程为y-1=-

36

25

（x-4），即36x+25y-169=0．
（2）设斜率为3的平行弦的中点坐标为（x，y），
则根据中点弦的斜率公式，有-

9x

25y

=3，
∴y=-

3

25

x．
∵由

y=- 3 25 x x2 25 + y2 9 =1

得，x=±

25 26

26

，
∴斜率为3的直线与椭圆相交所得的弦的中点的轨迹是y=-

3

25

x（-

25 26

26

＜x＜

25 26

26

）．

点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．